Strona główna

zbieżny
układ sił


płaski
układ sił


tarcie

przestrzenny
układ sił


środki
ciężkości


Przykład 1
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rysunku.



R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych tej figury płaskiej są równe

                 
Stąd
                      


Przykład 2
Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.



R o z w i ą z a n i e.
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości prostokąta
2r ´ r, połowy koła o promieniu r i koła o promieniu  r/4 wynoszą

                      
Stąd
                      


Przykład 3
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości powierzchni wycinka koła o promieniu
R i kącie środkowym 2a.



R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ rozpatrywana figura płaska ma oś symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Przyjmując oś symetrii jako oś
Ox wystarczy określić współrzędną xC środka ciężkości. Rozpatrzymy powierzchnię elementarną o kącie środkowym dj

                 
i współrzędnej środka ciężkości tej powierzchni

                 
Moment statyczny wycinka koła względem osi
y będzie równy

                 
Pole powierzchni tego wycinka wynosi

                 
Stąd współrzędna xC wynosi

                 


Przykład 4
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej ograniczonej parabolą 
y = kx2 oraz prostymi x = b, y = 0.



R o z w i ą z a n i e.
W celu obliczenia momentów statycznych rozważymy powierzchnię elementarną o szerokości
dx i wysokości y

                 

Momenty statyczne figury płaskiej wynoszą

                 

Pole powierzchni figury płaskiej jest równe

                 

Współrzędne środka ciężkości wynoszą

                 

Jeżeli uwzględnimy, że dla
x = b, y = h = kb2, to ostatecznie otrzymamy

               


Przykład 5
Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego stożka kołowego o wysokości
H i promieniu podstawy R.



R o z w i ą z a n i e.
Środek ciężkości stożka leży na osi symetrii, która pokrywa się z jego wysokością. Stąd
xC = yC = 0, a więc wystarczy obliczyć jedną współrzędną zC. Przyjmujemy elementarną objętość w postaci krążka o grubości dz i promieniu podstawy r, oddaloną od podstawy stożka o odległość z

               

Promień podstawy krążka obliczamy z podobieństwa odpowiednich trójkątów

               

Stąd
               

Współrzędną środka ciężkości
zwyznaczamy metodą analityczną

               


Przykład 6
Znaleźć położenie środka ciężkości bryły złożonej z połowy walca o wysokości
h i promieniu podstawy r oraz prostopadłościanu o wymiarach r × 0,5r × h.



R o z w i ą z a n i e.
Objętości i współrzędne środków ciężkości połowy walca i prostopadłościanu wynoszą

               

Współrzędne środka ciężkości bryły oblicz się przy zastosowaniu metody dzielenia

               


Przykład 7
Wyznaczyć położenie środka ciężkości powierzchni pokazanej na rysunku. Dane:
r = 4 cm, R = 8 cm, h = 10 cm.



R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej powierzchni przeprowadzamy przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych powierzchni (połowa koła o promieniu
R, koła o promieniu r, prostokąta R × 2R, trójkąta prostokątnego o podstawie 2R i wysokości h) wynoszą

               

Stąd współrzędne środka ciężkości powierzchni przedstawionej na rysunku są równe

               


Przykład 8
Znaleźć położenie środka ciężkości płaskiej linii łamanej, pokazanej na rysunku.



Rozwiązanie.
Długości i współrzędne środków ciężkości poszczególnych składowych rozpatrywanej linii łamanej
ABCDE są równe

               

Zatem współrzędne środka ciężkości linii łamanej wynoszą

               



Powrót do początku

Statyka | Wytrzymałość materiałów Przykładowe zadania | Testy