Strona główna

rozciąganie
i ściskanie


Ścinanie

Momenty
bezwładności


Zginanie

skręcanie

Przykład 1
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.



R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności półkola względem osi
z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła

                 

Stosując wzór Steinera, mamy

                 

Przykład 2
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej.



R o z w i ą z a n i e.
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną

                   

Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności względem osi
zc trzech figur składowych.
Dla półkola
I1 = 0,11r4, a względem osi zc (stosując wzór Steinera)

                  

Dla prostokąta
I2 = 2r · r3/12 i względem osi zc  

                  

a dla trójkąta
I3 = 2r · r3/36, zatem 

                 

Ostatecznie otrzymamy

                 

Przykład 3
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi
yz.



R o z w i ą z a n i e.
Elementarne pole wynosi

                

a współrzędna jego środka ciężkości

                 

Moment odśrodkowy wynosi

                  

Przykład 4
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie
m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc.

                       

R o z w i ą z a n i e.
Wycinamy myślowo w odległości
y od osi Ox element długości dy.
Masa elementu o długości
dy wynosi

                 
Pomijając wymiary poprzeczne pręta
(z = 0) otrzymujemy

                 

Moment bezwładności względem osi centralnej
Cxc.

                 

Przykład 5
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r względem osi
Ox, Oy i Oz.

                      

R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności względem osi
Oz jest biegunowym momentem bezwładności. W odległości r od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dr, zatem

                 
Masa wyciętego pierścienia wynosi

                 
Stąd
                 

Mamy także

                 
Stąd
                 

Możemy również napisać

                 
Zatem
                 




Powrót do początku

Statyka | Wytrzymałość materiałów Przykładowe zadania | Testy